Wiskundige Technieken 3, 2011
Rooster
Het college voor
WISN202 is op
woensdag van 15.15-17.00, uur in zaal MIN 208.
Het praktikum is op vrijdag van 13.15-15 .00 uur, in de zaal BBL 161
Docenten
De docent van het vak is André Henriques
en de student assistent is Suzanne van der Meijden ([email protected]).
Het dictaat
We gebruiken het
dictaat Wiskundige Methoden voor Fysici van J. Stienstra,
die vanuit de boekenhok van A-Eskwadraat (tegenover hun gezelligheidskamer BBL 269) verkrijgbaar is.
De stof
Het onderstaande programma wordt gedurende de cursus aan de gang van zaken
aangepast.
Kijk elke week op deze website voor de toegevoegde informatie
over de te behandelen stof en de te maken vraagstukken.
Tweede Oefententamen
Utwerkingen van tweede huiswerkopgave
Utwerkingen van de werkcollegeopgaves
Oefententamen
Behandelde stof:
Vrijdag 21 Juni: 25, 26, 30, 35.
Vrijdag 14 Juni: 19, 20, 21, 22, 23.
Woensdag 12 Juni:
De Stelling van Liouville. De hoofdstelling van de algebra (11.3 & 11.4 in het dictaat).
De twee convergentiestralen van een Laurent reeks.
Stelling 12.2: iedere holomorphe functie op een ringgebeid heeft een Laurentreeksontwikkeling.
Voorbeeld: de functie ((z-1)2(z+2))-1 op het gebied 1<|z|<2.
Inleveropgave. Inleverdatum: 19 Juni
Vrijdag 7 Juni: 12, 17, 18, 24, 27, 28.
Woensdag 5 Juni: Meer Laurent reeksen. Meer integralen. De integraal
∫-∞∞sin(x)/xdx.
De som Σ 1/n2 = π2/6.
Vrijdag 31 Mei: 11, 13, 14, 16.
Woensdag 29 Mei: Residuen. De orde van een pool. Essentiele singulariteiten.
De Residuenstelling. De integraal ∫02π1/(3+cos(t))dt.
De integraal ∫-∞∞1/(1+x2)dx.
De integraal ∫-∞∞eix/(1+x4)dx.
Vrijdag 24 Mei: Uit het dictaat (aan de achterkant):
11, 12, 13, 14, 15, 16.
Woensdag 22 Mei: Helhaal van de belangrijkste eigenschappen van complexe lijnintegralen. De formule an = (2πi)-1∫ f(z)/zn+1dz om de n-de coefficient van een machtreeks aftelezen.
De equivalens tussen holomorf en analytisch (met bewijs!). Gevolg: holomorfe functies zijn willekeurig vaak complex differentieerbaar.
Vrijdag 17 Mei: Uit het dictaat (aan de achterkant): 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 7.
Woensdag 5 Mei:
Invariantie van de lijnintegraal onder herparametrizering van de kromme.
Doorlooprichting veranderen = minus teken.
Invariantie van de lijnintegraal onder homotopien van paden.
Invariantie van de gesloten lijnintegraal onder homotopien van lussen.
De stelling van Cauchy (10.7 uit het dictaat).
Woensdag 8 Mei:
Analytische funcites en holomorfe (=complex differentieerabre) functies.
De Cauchy-Riemann vergelijkingen.
Bewijs dat holomorfe functies zijn hoek behouden.
De definitie van lijnintegralen, en de fundamentele relatie tussen de lijnintegraal van een functie
en de uitwerting van een primitieve bij de twee eindpunten.
Bewijs dat de functie 1/z geen primitieve heeft (op het domein ℂ-{0}).
Vrijdag 3 Mei: Uit het dictaat (aan de achterkant): 1
• Wat is het beeld van de cirkel met straal 1 rond het punt 1 onder de afbeelding z↦z2? En z↦z1/2?
En z↦log(z)? En z↦ez?
• Wat is het beeld van de horizontale lijn door het punt i onder de afbeelding z↦z2? En z↦z1/2?
En z↦log(z)? En z↦ez?
Zelfde vraagen voor de afbeeldingen z↦1/z en z↦bar(z) en z↦z3.
Woensdag 1 Mei: Complexe functies gezien als transformaties van het complexe vlak. De functies z+c, z·w, z2, z1/2, ez, log(z).
Woensdag 24 April: Bessel functies.
Vrijdag 5 April: Uit het dictaat: 31, 22, 23, 26.
Woensdag 3 April: A: Hoofdstuk 6: reeskontwikkeling naar eigenfuncties.
B: Hoe je een oneinding dimensionaal Hilbert ruimte benaardet door een eindig dimensionaal vector ruimte.
Woensdag 27 Maart:
Hoofdstuk 4.2 uit het dictaat.
Het begrip van domein van een operator, en het feit dat de eigenfuncties in de domein van de operator moeten liggen.
Voorbeeld: D(f) = f ' werkend op L2([0,2π]) met domein gegeven door periodieke rand condities,
en hetzelvde voorbeeld met domein gegeven door anti-periodieke rand condities: de eigenfuncties zien totaal anders in deze twee voorbeelden.
Inleveropgave
(Inleverdatum Vrijdag 5 April):
Toon aan dat de conclusie op blz 32-33 van het dictaat klopt,
waarbij naadruk moet worden gelegd op het geval Honeven,
zo als in het dictaat/hoorcollege wordt gedaan voor Heven.
Vrijdag 22 Maart:
Uit het dictaat: 24, 25, 27, 30.
Woensdag 20 Maart:
• Ik heb sectie 4.1 uit het dictaat volledig behandeld.
• Stellingen 5.6 & 5.7. • De Cauchy-Schwartz ongelijkheid.
Vrijdag 8 Maart:
Uit het dictaat: 14, 15, 17, 18, 19, 13, 21, 25(a), 28(a).
Woensdag 6 Maart:
Herhaal: relatie tussen de Hermite en Schroedingen operatoren.
Machreeksoplossingen van de Hermite operator: de functies Hλeven en Hλoneven.
Inproducten, norm, afstand, loodrecht. De geadjungeerde van een operator. Self-adjoint operatoren, unitaire operatoren.
De Hermite operator is self-adjoint ten opzichte van het inproduct ⟨f,g⟩ := ∫ f(x)gbar(x)e-x2.
Vrijdag 1 Maart:
Uit het dictaat: 6, 12.
Losse opgaves: Geef een basis van de ruimte van alle functies f:[0,1]→ ℝ.
Geef een basis van de ruimte van alle functies f:[0,1]→ ℂ.
Geef een basis van de ruimte van alle even functies f:[-1,1]→ ℝ.
Geef een basis van de ruimte van alle oneven functies f:[-1,1]→ ℝ.
Laat zien dat de verzamelijng functies {enx}n ∈ℂ lineair onafhankelijk is.
Laat zien dat de verzamelijng functies {cos(nx)}n ∈ℝ lineair onafhankelijk is.
Bereken de eigenfuncties van de operator f ↦ f '''.
Bereken de eigenfuncties van de operator f ↦ f+f '.
Bereken de eigenfuncties van de operator f ↦ f+f ''.
Bereken de eigenfuncties van de operator f ↦ f '+f ''.
Woensdag 27 Feb:
De vector ruimtes van functies C0(ℝ), C1(ℝ), Cr(ℝ), C∞(ℝ),
C0([a,b]),...
De vector ruimtes van rijen c0(ℕ), ℓ1(ℕ), ℓ2(ℕ),...
De vector ruimtes van functies L1(ℝ), L2(ℝ), L2([a,b]),...
Hilbert ruimtes (zonder echte wiskundige definitie) en welke van de bovenste vector ruimtes Hilbert ruimtes zijn.
De Schrödinger vergelijking voor de harminische operator in één dimensie,
en hoe je het oplost als je de eigenfuncties en eigenwaardes van de Schrödinger differentiaaloperator
DSch = ∂2/∂x2 - x2, of
(DSch(f))(x) = f ''(x) - x2f(x).
Het verband tussen de eigenfuncties van DSch en
de eigenfuncties van
DHer := ∂2/∂x2 -2x∂/∂x - 1.
Vrijdag 22 Feb:
Losse opgaves:
Zijn de velgende vector ruimtes (y/n): Alle functies ℝ→ℝ? Alle functies [0,1]→ℝ? Alle functies ℝ→[0,1]?
{f:ℝ→ℝ|f(0)=0}? {f:ℝ→ℝ|f(1)=0}? {f:ℝ→ℝ|f(0)=1}?
{f:ℝ→ℝ|f'(0)=0}? {f:ℝ→ℝ|f(0)=f(1)}? {f:ℝ→ℝ|f(x)=f(-x)}?
{f:ℝ→ℝ|f(x)=-f(-x)}? {f:ℝ→ℝ|f(x)=f(x+1)-1}?
Zijn de volgende operatoren lineair (y/n): f gaat naar f'? f gaat naar 2f? f(x) gaat naar f(x+1)? f(x) gaat naar f(x)+1? f(x) gaat naar f(2x)? f(x) gaat naar 2f2(x)? f(x) gaat naar f'(x)+f(x)? f(x) gaat naar x2f'(x)? f(x) gaat naar x2f'(x)+x? f(x) gaat naar f'(x)f(x)? f(x) gaat naar f'(2x)?
Laat zien dat {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} een basis is van de vector ruimte ℂ4={(a,b,c,d)|a,b,c,d∈ℂ}.
Bereken het spectrum van de volgende operatoren:
f↦f' werkened op de ruimte van alle functies ℝ→ℝ.
f↦f' werkend op de ruimte van alle functies ℝ→ℝ die aan f(x)=f(x+1) voldoen.
f↦f' werkend op de ruimte van alle functies ℝ→ℂ die aan f(x)=f(x+1) voldoen.
f↦f' werkend op de ruimte van alle functies ℝ→ℂ die aan f(x)=f(x+2) voldoen.
f↦f'' werkend op de ruimte van alle functies ℝ→ℂ die aan f(x)=f(x+1) voldoen.
f↦f'' werkend op de ruimte van alle functies ℝ→ℂ die aan f(x)=f(x+2) voldoen.
Uit het dictaat: 11.
Woensdag 20 Feb:
Klein herhaal: de differentiaalvergelijking voor (1+z)r en zijn convergentiestraal.
Analytische functies. Differentiaaloperatoren.
De definitie van een vector ruimte (= lineaire ruimte), van een lineaire deelruimte, van een lineaire afbeeling,
an een eigenvector (=eigenfunctie), van een eigenwaarde, van de spectrum van een operator.
Voorbeeld: het specrum van de operator f↦f'' werkend op de ruimte van 2π-periodieke functies is gelijk aan de verzmeling {0,-1,-4,-9,...}.
Definitie van een basis van een vector ruimte. Voorbeeld: de verzameling {einx}n∈ℤ is een basis
van de ruimte van 2π-periodieke functies. Definite van lineaire onafhankelijkheid. Voorbeeld: de verzameling {x, x2, sin(x), cos(x), ex, sinh(x), cosh(x)} is niet lineaire onafhankelijk omdat - ex + sinh(x) + cosh(x) = 0.
Resultaten van het eerste deeltentamen / tweede deeltentamen:
3834622: 7.0 / 3.4
3795543: 7.1 / 6.1
3702499: 8.0 / 6.7
3649288: 8.0 / 4.3
3869911: 7.3 / 4.3
3853411: 9.1 / 4.6
3469840: 7.3 / 1.9
3861031: 8.5 / 7.0
3697312: 8.9 / 7.9
3829472: 8.9 / 5.8
3871606: 1.0 / --
3823822: 7.9 / 7.3
3788180: 8.6 / 6.7
3862534: 8.8 / 5.5
3701212: 8.0 / 8.5
3858081: 5.0 / 2.5
3807991: 6.5 / --
3345572: 4.5 / 3.4
3345610: 9.8 / 6.1
3856593: 7.3 / 6.4
3851028: 8.6 / 7.3
3708373: 8.8 / 5.2
3836037: 8.0 / 5.5
3859754: 6.4 / 3.7
3704734: 9.3 / 7.9
3861198: 9.3 / 5.2
3593002: 10.0/ 9.1
3851095: 9.8 / 8.2
3871835: 8.1 / 4.0
3658562: 5.0 / 4.9
3684318: 1.5 / --
3853144: 5.0 / --
3583430: 9.5 / 10.0
3473619: 8.8 / 2.5
3478774: 9.3 / 9.4
3836509: 6.1 / 2.8
3746135: 7.1 / 2.5
3539857: 3.5 / 4.9
3473554: 7.7 / 8.5